[WEEK03] 최단경로 - 다익스트라 / 플로이드워셜

1. 다익스트라(Dijkstra)

- 그래프에서 여러개의 노드가 있을 때 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단경로를 구해주는 알고리즘

- '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 작동

- 현실세계의 길에서는 음의 간선이 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제 GPS 소프트웨어의 기본알고리즘으로 채택됨

 

 

구현과정

1. 출발 노드를 설정

2. 최단거리 테이블을 초기화

3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택

4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단거리 테이블을 갱신

5. 위의 과정에서 3번과 4번을 반복

- '각 노드에 대한 현재까지의 최단거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신

- 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인

    => 그리디 알고리즘으로 볼 수 있음

- 3번 과정 때문에 더이상 알고리즘을 반복해도 최단거리가 감소하지 않음

    => 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있음

 

 

시간복잡도

O(V^2)

 

소스코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m =map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기 
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))
    
# 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드 (인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i 
    return index 

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True 
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1 개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True 
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost 
                
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한 (INF)라고 출력
    if distance [i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

2. 개선된 다익스트라(Dijkstra)

특징

- 힙의 자료구조를 사용

- 최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 값이 작은 원소'가 추출되는 특징이 있음

    (파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙에 기반 ('거리'가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나옴)

- 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용

    (기존에 가장 거리가 짧은 노드를 선택하는 과정이 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체됨)

 

 

시간복잡도

- O(Elog V) ; V = 노드의 개수 / E = 간선의 개수

 

 

소스코드

# 시간복잡도 O(Elog V) ; E는 간선, V는 노드

import heapq
import sys
intput = sys.stdin.readline 
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int ,input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미 
    graph[a].append((b, c))
    
def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0 
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue 
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
                
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

3. 플로이드 워셜 (Floyd-Warshall)

특징

- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단경로를 모두 구해야하는 경우 사용할 수 있는 알고리즘

- 다익스트라는 그리디 알고리즘인데 반해 플로이드 워셜은 다이나믹 프로그래밍

 

 

구현방법

D(a to b) = min( D(a to b), D(a to k) + D(k to b) )

- 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 위의 점화식에 따라 최단거리 테이블을 갱신

- 'A에서 B로 가는 최소비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용'을 비교하여 더 작은 값으로 갱신

- 즉, '바로 이동하는 거리'가 '특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리'보다 더 많은 비용을 가지면 이를 더 짧은 것으로 갱신

 

 

 

[출처]

서적 : 이것이 취업을 위한 코딩테스트다